Matemática básica Ejemplos

$25000 = 400 (\frac{1 - {(1.0025)}^{- n}}{0.0025}) (1.0025)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$ .

$400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2

Simplifica $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $0.0025$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $0.0025$ de $400$ .

$0.0025 (160000) \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$0.0025 \cdot 160000 \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$160000 (1 - {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(160000 \cdot 1 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.3

Multiplica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $160000$ por $1$ .

$(160000 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 1$ por $160000$ .

$(160000 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$160000 \cdot 1.0025 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.5

Multiplica $160000$ por $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Paso 2.6

Multiplica ${1.0025}^{- n}$ por $1.0025$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Mueve $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot (1.0025 \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Paso 2.6.2

Multiplica $1.0025$ por ${1.0025}^{- n}$ .

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Paso 2.6.2.1

Eleva $1.0025$ a la potencia de $1$ .

$160400 - 160000 \cdot ({1.0025}^{1} \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Paso 2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $160400$ de ambos lados de la ecuación.

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000 - 160400$

Paso 3.2

Resta $160400$ de $25000$ .

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$

Paso 4

Divide cada término en $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ por $- 160000$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ por $- 160000$ .

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 160000$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Paso 4.2.1.2

Divide ${1.0025}^{1 - n}$ por $1$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $- 135400$ y $- 160000$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $- 200$ de $- 135400$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 (677)}{- 160000}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $- 200$ de $- 160000$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{677}{800}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.0025}^{1 - n}) = \ln (\frac{677}{800})$

Paso 6

Expande $\ln ({1.0025}^{1 - n})$ ; para ello, mueve $1 - n$ fuera del logaritmo.

$(1 - n) \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Paso 7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1

Simplifica $(1 - n) \ln (1.0025)$ .

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Paso 7.1.2

Multiplica $\ln (1.0025)$ por $1$ .

$\ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Paso 8

Reordena $\ln (1.0025)$ y $- n \ln (1.0025)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Paso 9

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) - \ln (\frac{677}{800}) = 0$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025}{\frac{677}{800}}) = 0$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025 (\frac{800}{677})) = 0$

Paso 11.2

Multiplica $1.0025 (\frac{800}{677})$ .

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Paso 11.2.1

Combina $1.0025$ y $\frac{800}{677}$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025 \cdot 800}{677}) = 0$

Paso 11.2.2

Multiplica $1.0025$ por $800$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $802$ y $677$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $802$ como $1 (802)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 (802)}{677}) = 0$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Reescribe $677$ como $1 (677)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Paso 12

Resta $\ln (\frac{802}{677})$ de ambos lados de la ecuación.

$- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$

Paso 13

Divide cada término en $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ por $- \ln (1.0025)$ y simplifica.

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Paso 13.1

Divide cada término en $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ por $- \ln (1.0025)$ .

$\frac{- n \ln (1.0025)}{- \ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común de $\ln (1.0025)$ .

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Paso 13.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Paso 13.2.2.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Forma decimal:

$n = 67.85961739 \dots$